1r ciclo Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

[_OJ_287_]

Hola buenas! A ver si alguien me puede echar una mano.

Primero me dice que resuelva esto: f´(x)=a+b*f(x). Me recomienda que lo sustituya por u(x)=a+b*f(x), pero no le veo ningun sentido a eso...

Luego me dice que resuelva el problema de valor inicial de la misma ecuacion con y(0)=y0.

La verdad es que ando un poco verde con las integrales. Si alguien me explica como se hace se lo agradeceria.
Gracias. Un saludo!

[arreldepi]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Hola!
Tienes

$$\frac{\dd f(x)}{\dd x}=a+b f(x)\quad\to\quad \frac{\dd f(x)}{a+bf(x)}= \dd x$$

Ahora tan sólo te queda integrar:

$$\int \frac{\dd f(x)}{a+bf(x)} = \int \dd x \qquad\to\qquad \frac 1b\ln(a+bf(x)) = x+ \ln C_1$$

Ahora, tomando exponenciales y haciendo $C_2=bC_1$:

$$f(x) = C_2\eee{bx}-\frac ab$$

Por último aplicamos que $f(0)=f_0$

$$f(0)=f_0=C_2-\frac ab\quad\to\quad C_2=f_0+\frac ab$$

con lo cual:

$$\boxed{f(x)=\left(f_0+\frac ab\right)\eee{bx}-\frac ab}$$

Saludos!

[_OJ_287_]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

mas alto se puede pero no mas claro.
Gracias y un saludo arreldepi!

[Al2000]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

En realidad la forma correcta de resolver la ecuación (2) sería

$$\int \frac{\dd f(x)}{a+bf(x)} = \int \dd x \qquad\to\qquad \frac 1b\ln \left [\frac {a+bf(x)} C \right ] = x$$

para evitar el error que existe si $a+b f(x)$ tiene unidades o es negativo. Por supuesto que nadie lo hace así.

El software matemático que utilizo corrientemente tiene la mala costumbre de resolver las integrales definidas de este tipo como la diferencia de dos logaritmos en lugar del logaritmo de un cociente (supongo que con la finalidad de hacer simplificaciones). Luego uno tiene la penosa tarea de reconstruir los cocientes para que las fórmulas no den error al sustituir valores que tienen unidades. Bastante engorroso muchas veces...

Saludos,

Al

[_OJ_287_]

Re: Ecuacion diferencial exponencial ``facil´´

Ok, gracias Al2000 no se lo que es el error ese pero bueno, jajaj. Un saludo.